HISTÓRIA DOS NÚMEROS

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB

CERCÍLIO LOPES DA SILVA NETO

DOUGLAS RAMON SANTOS NOGUEIRA

IONE DE SOUZA BRITO

VANILSON GOMES DA SILVA

PROPOSTA DE ENSINO

Números

Carinhanha/ Bahia

Outubro de 2012

CERCÍLIO LOPES DA SILVA NETO

DOUGLAS RAMON SANTOS NOGUEIRA

IONE DE SOUZA BRITO

VANILSON GOMES DA SILVA

NÚMEROS
                                                                                                             Trabalho apresentado á disciplina

de História da Matemática, do

 curso de Licenciatura em Matemática

 EAD da Universidade do Estado da Bahia- UNEB.

Professor (a): Rosemeire Batistela

Tutor Presencial: Emanuela Gusmão

Tutor á distancia: Rosane Rodrigues

Carinhanha/ Bahia

Outubro de 2012

Números

- Origem e desenvolvimento dos números até os dias atuais;

As primeiras concepções de número datam de tempos tão remotos como o início da idade da pedra, a era paleolítica. Durante as centenas de milhares de anos (ou mais) deste período, os homens viviam em cavernas, em condições pouco diferentes das dos animais e as suas principais energias eram orientadas para o processo elementar de recolher alimentos onde fosse possível encontrá-los. Eles faziam instrumentos para caçar e pescar e desenvolveram linguagem para comunicação uns com os outros e enfeitavam suas habitações com certas formas de arte criativa.

Pouco progresso se fez no conhecimento de valores numéricos e de relações entre grandezas até que se deu a transição da mera coleta de alimentos para a sua produção; da caça e da pesca para a agricultura. Com esta transformação fundamental — uma revolução na qual a atitude do homem perante a natureza deixou de ser passiva para se tornar ativa — inicia-se um novo período da idade da pedra: o neolítico. Durante o neolítico existia uma atividade comercial considerável entre as diversas povoações promovendo a formação de linguagens. As palavras dessas linguagens exprimiam coisas muito concretas e pouquíssimas abstrações.

Não se tem dados suficientes para fixar o período da história primitiva em que foram descobertos os números cardinais. Os mais antigos documentos escritos mostram a presença do conceito igualmente na China, Índia, Mesopotâmia e Egito. Todos esses documentos contêm a questão “Quantos...?”. Esta questão pode ser respondida de forma mais adequada em termos de números cardinais. Portanto, quando esses documentos foram escritos, e provavelmente muito antes dessa época, o conceito de número cardinal já se tinha formado.

Na história, os números e os conjuntos numéricos não apareceram exatamente do modo como estão descritos nos livros didáticos. Os números naturais e racionais positivos são os tipos de números mais antigos e os inteiros negativos são os mais “jovens” por assim dizer. Através dos tempos, várias simbologias foram utilizadas para descrever números, incidindo, atualmente, na notação indo-arábica em quase todo mundo. Imagina-se que depois de ter utilizado os números para contar, medir, calcular, o homem começou a especular sobre a natureza e propriedades dos números. Desta curiosidade nasceu a Teoria dos Números, um dos ramos mais importantes da Matemática.

Um desenvolvimento mais formal da numeração se encontra na formação dos sistemas de numeração. Examinando-os mais antigos símbolos verifica-se o uso de uma única marca, para cada elemento. O procedimento de extensão é o que resultou nos sistemas de numeração atuais, que se baseiam num valor de uma posição e iniciam com a escolha de certo número como base.

 

- Um panorama sobre a distribuição dos conteúdos deste tópico no currículo de matemática no Brasil;

Os conteúdos de blocos de números apresentados nos PCN deveriam servi como base para a construção do currículo da escola.

A distribuição dos conteúdos no currículo da matemática está organizada em tópicos, tendo como objetivo reconhecer em cada um deles, quais competências, conhecimentos, hábitos e valores são socialmente essenciais para a melhoria da capacidade intelectual dos alunos, permitindo ao mesmo estimular à criatividade, o desenvolvimento do raciocínio lógico, a iniciativa pessoal, estabelecendo relação entre conteúdos de matemática com conteúdos de várias áreas do conhecimento havendo entre ambos a contextualização e a interdisciplinaridade com temas matemáticos de diferentes campos, e também de outras áreas do conhecimento.

 

- Panorama sobre a situação atual do ensino dos números e a história da evolução até os dias atuais; em termos de ensino e de aprendizagem;

Pode-se perceber que o ensino da matemática torna-se cada vez mais difícil, os alunos não conseguem compreender de forma adequada certo conteúdo. Com isso o professor precisa utilizar métodos que os incentive e desperte o interesse pela compreensão dos números, buscando formas lúdicas e diversificadas para melhorar o ensino aprendizagem.

Ao longo da história podemos observar o avanço da Matemática, a necessidade de contar e relacionar quantidades fez com que o homem desenvolvesse símbolos no intuito de expressar inúmeras situações. Diversos sistemas de numeração foram criados em todo o mundo no decorrer dos tempos, sendo os mais antigos originários do Egito, Suméria e Babilônia. Podemos também citar outros sistemas de numeração bastante conhecidos, como o Chinês, os Maias, o Grego, o Romano, o Indiano e o Arábico.

O homem criava situações interessantes na contagem de seus objetos, animais e etc., ao levar seu rebanho para a pastagem ele relacionava uma pedra a cada animal, no momento em que ele recolhia os animais fazia a relação inversa, no caso de sobrar alguma pedra poderia verificar a falta de algum animal.

Mas o homem buscava algo mais concreto, que representasse de uma forma mais simples tais situações. O surgimento dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4...) revolucionou o método de contagem, pois relacionava símbolos (números) a determinadas quantidades.

Com o início do Renascimento surgiu a expansão comercial, que aumentou a circulação de dinheiro, obrigando os comerciantes a expressarem situações envolvendo lucros e prejuízos. A maneira que eles encontraram de resolver tais situações problemas consistia no uso dos símbolos + e –. Suponha que um comerciante tenha três sacas de arroz de 10 kg cada em seu armazém. Se ele vendesse 5 Kg de arroz, escreveria o número 5 acompanhado do sinal –; se ele comprasse 7 Kg de arroz, escreveria o numeral 7 acompanhado do sinal +.

Utilizando essa nova simbologia, os Matemáticos da época desenvolveram técnicas operatórias capazes de expressar qualquer situação envolvendo números positivos e negativos. Surgia um novo conjunto numérico representado pela letra Z (significa: Zahlen: número em alemão), sendo formado pelos números positivos (Naturais) e seus respectivos opostos, podendo ser escrito da seguinte forma: Z = {.,–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...}.

 

- Fundamentação teórica da utilização da história da matemática no ensino;

A História da Matemática pode ser um potente auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, com a finalidade de manifestar de forma peculiar as ideias matemáticas, situar temporalmente e espacialmente as grandes ideias e problemas, junto com suas motivações e precedentes históricos e ainda enxergar os problemas do passado, bem como encontrar soluções para problemas abertos.

A História da Matemática é considerada um tema importante na formação do aluno. Ela proporciona ao estudante a noção exata dessa ciência em construção, com erros e acertos e sem verdades universais, contrariando a ideia positivista de uma ciência universal e com verdades absolutas. A História da Matemática tem este grande valor, de poder contextualizar o saber, mostrar que seus conceitos são frutos de uma época histórica, dentro de um contexto social e político.

Se estabelecermos um laço entre o aluno, a época e o personagem relacionado com os conceitos estudados, se conhecerem as motivações e dúvidas que tiveram os sábios da época, então ele poderá compreender como foi descoberto e justificado um problema, um corpo de conceitos, etc. (VALDÉS, 2002, p. 18).

- Revisão de literatura de propostas já existentes a respeito da utilização da história da matemática para o ensino dos números:

A Associação de Professores de Matemática (APM) afirma que a História da Matemática é reconhecidamente importante na estratégia de dar significado aos conteúdos matemáticos expostos aos alunos. Exemplifica falando que para o 1º ciclo poderiam ser dadas sugestões para estudar outros sistemas de numeração significativos para as crianças, que se recorra a algoritmos com valor histórico para as quatro operações aritméticas e que se experimente o uso de unidades de medida diversas das do Sistema Internacional. Outra situação descrita pela APM refere-se ao 2º ciclo, onde se poderia utilizar o cálculo do perímetro da Terra, desenvolvido por Eratóstenes, pois abrange o trabalho com ângulos, noções de cálculo, proporcionalidade e paralelismo. Em se tratando do 3º ciclo, a APM cita o acontecido com Sócrates, onde o último explica a um escravo a relação existente entre o lado do quadrado e a diagonal da mesma, “através da comparação das áreas de dois quadrados; ou o método utilizado por Arquimedes para calcular valores aproximados de π, por enquadramento de uma circunferência em duas sucessões de polígonos”. (APM, 2007, p. 15).

O uso da história da matemática é uma ótima alternativa para despertar o interesse nos alunos, auxiliando na compreensão da construção de conceitos e dar suporte para a elaboração de aulas mais atrativas e significativas para os alunos. Diante disso, muitos autores corroboram sobre a importância da utilização da história da matemática no processo ensino – aprendizagem. Há que se ressaltar ainda, os argumentos a favor do uso didático da história da matemática segundo Lins e Gimenez:

Um bom trabalho aritmético, para a prática do professor é: reconhecer a necessidade de uma mudança curricular que sirva para desenvolver um sentido numérico; integrar diversos tipos de raciocínios na produção de conjecturas; assumir o papel dos distintos cálculos, que não se reduzam a obtenção de resultados, e contribuam para aprimorar processos como planificar, desenvolver estratégias diferentes, selecionar as mais adequadas; fomentar uma avaliação que contemple a regulação e o controle constante do processo de ensino proposto. (LINS; GIMENEZ, 1997, p. 12).

- Proposta para o ensino dos números utilizando o recurso da história da matemática;

A história da matemática pode estar presente na sala de aula em vários contextos diferentes, pode ser apresentada de forma lúdica com problemas curiosos, “os enigmas”, como fonte de pesquisa e conhecimento geral, como introdução de um conteúdo ou atividades complementares de leitura, trabalho em equipe e apresentação para o coletivo. Também pode apresentar a matemática com uma gama de possibilidades de atividades diferenciadas que vão muito além das infindáveis sequências de exercícios e memorização de métodos e fórmulas.

Com a história da matemática, tem-se a possibilidade de buscar uma nova forma de ver e entender a matemática, tornando-a mais contextualizada, mais integrada com as outras disciplinas, mais agradável, mais criativa, mais humanizada.

Segundo D Ambrósio:

As ideias matemáticas comparecem em toda a evolução da humanidade, definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da natureza e para a própria existência. Em todos os momentos da história e em todas as civilizações, as ideias matemáticas estão presentes em todas as formas de fazer e de saber. (D’AMBRÓSIO, 1996, p. 97).

Aprofundando a questão do uso da história da matemática em sala de aula, podemos utiliza a seguinte atividade.

Projeto de Contação de Histórias (da Matemática);

Nessa atividade mensal, cada dupla de aluno recebe uma reportagem de uma revista de circulação mensal, a qual contém uma seção sobre um breve tópico da história da matemática. Após a leitura, interpretação e discussão do texto, os alunos fazem o relato escrito do que leram e, na sequência, contam para a turma.

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Referências:

Mundo da Educação - http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/o-surgimento-dos-numeros-inteiros.htm

Divulga Matemática - http://divulgamatema.blogspot.com.br/2011/10/proposta-de-ensino-dos-numeros_31.html

BIOGRAFIA DE ARQUIMEDES

UNEB - UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

GEAD – GESTÃO DOS PROJETOS E ATIVIDADES EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA

DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS I

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA À DISTÂNCIA

DISCIPLINA: História da Matemática PROFESSORA FORMADORA: Rosemeire de Fátima Batistela

Alunos: Vanilson Gomes da Silva, Douglas Ramon Santos Nogueira e Cercílio Lopes da Silva Neto.

BIOGRAFIA DE ARQUIMEDES

CARINHANHA 2012

Arquimedes teve como pai o astrônomo Fídeas e parentesco com o rei Híerom 2°, de Siracusa, sendo considerado o maior matemático da antiguidade no qual Plutarco ministrou uma sabedoria acima da média. Nasceu em Siracusa, hoje Itália, no ano de 287 a.C. e foi morto no ano de 212 a.C. por um soldado romano ao recusar-se a renunciar um problema matemático no qual estava afundado. Foi matemático, engenheiro, físico, inventor e astrônomo. Estudou em Alexandria, onde teve como professor Canon de Samos, provavelmente sucessor de Euclides, pouco se tem relatado sobre a infância de Arquimedes.

Dos seus mais famosos livros podem-se denotar: Equilíbrios Planos, que fundamentou a lei da alavanca, concluindo-o por intermédio de alguns postulados, determinou o centro de gravidade de paralelogramos, trapézios, retângulos e de um seguimento de parábola; sobre a esfera e o cilindro, Arquimedes utilizou um método que ficou conhecido como exaustão, antecedente do cálculo integral, para determinação da superfície de uma esfera e para determinar a ligação entre uma esfera e o cilindro circunscrito na esfera.

Das várias descobertas de Arquimedes, podemos citar também a polia composta, que de certa forma colaborou para propagação de sua fama.

Entre os fatos mais famosos de sua vida, o mais eminente é o problema da coroa do rei Híeron que incide bem o caráter desse matemático formidável. O rei Híeron almejava oferecer aos deuses uma coroa de ouro e, logo, contratou um ourives, no qual forneceu uma fração de prata e outra de ouro em pó. Quando recebeu a coroa o rei, percebeu que não havia sido empregado na confecção da coroa todo ouro em pó que ele tinha entregado ao ourives. Não tendo condições de provar o furto, o rei Híeron procurou Arquimedes.

Arquimedes sempre preocupado com os problemas que lhe eram apresentados, observando um belo dia, quando tomava banho, que, à medida que seu corpo mergulhava na banheira, a água subia pelas as bordas. Rapidamente descobriu a maneira que poderia empregar para resolver o problema do rei. O historiador Vitrúvio falou que, diante da descoberta, Arquimedes teria saído pelas ruas, totalmente despido, gritando, encontrei!, encontrei!. Em seguida, Arquimedes preparou dois blocos, um de ouro e outro de prata, ambos com o mesmo peso da coroa. Mergulhando cada um separadamente, em duas vasilhas cheias d’água, e mediu a quantidade de água que transbordou de cada vasilha. Assim por meio desse processo, verificou que os volumes d’água deslocada pelos dois blocos eram diferentes, concluindo por estabelecer, com certa precisão, as massas de ouro e de prata empregadas na confecção da coroa de Hieron. Dessa maneira, Arquimedes determinou os pesos específicos do ouro e da prata, resolvendo o problema do rei.

Dentre as experiências que Arquimedes experimentou, ela lhe deu condição de chegar a deduções importantes, dessa forma entrou para a história como “Princípio de Arquimedes”: Todo corpo mergulhado num líquido recebe um impulso de baixo pra cima igual ao peso do volume do líquido deslocado. Assim os corpos com mais densidade do que a água afundam e os com menos densidade flutuam.

Arquimedes foi quem deu início a matemática moderna, a sua primeira edição impressa com texto em grego, acompanhava observações de Eutocio, grego e geômetra, sendo publicada na Basiléia, no ano de 1544, com vários relatos e manuscritos de suas descobertas e invenções. Sendo que muitas das descobertas foram reproduzidas no decorrer dos séculos e muitos manuscritos certamente se perderam por falta de conservação da história desse grande matemático.

Numa de suas descobertas chamada de “quadratura da parábola” ele demonstra que a área de um seguimento da parábola é equivalente a 3/4 da área do triângulo com mesma base e de mesma altura do seguimento.

Outra grande demonstração de Arquimedes foi à relação entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro, ele a prova no tratado chamado medida do circulo. Ao calcular os perímetros de dois polígonos de 96 lados, sendo que um dos polígonos inscrito e o outro circunscrito, Arquimedes demonstrou que o resultado dessa relação era igual 3+ 1/7>π>3+10/71. Assim era representada pela letra grega π.

Essa biografia foi de grande importância para nossa formação como graduando em matemática, pois é fundamental que um futuro professor de matemática tenha conhecimento da história daqueles que contribuíram para a matemática que temos hoje. Assim, poderá ensinar seus futuros alunos bem e melhor, contribuindo com a formação de cidadãos conscientes e capazes numa sociedade cada vez mais exigente.

Referências:

PACIEVITCH, Thais. InfoEscola Navegando e Aprendendo. Disponível em: http://www.infoescola.com/biografias/arquimedes/. Acesso em 8 de outubro de 2012.

Portal São Francisco. Disponível em: http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/biografia-de-arquimedes/biografia-de-arquimedes.php. Acesso em 9 de outubro de 2012.

Uol Educação. Disponível em: http://educacao.uol.com.br/biografias/arquimedes.jhtm. Acesso em 8 de outubro de 2012.

Douglas e Vanilson

Se há mais de 2500 anos, quando tudo era rústico , Pitágoras descobriu uma fórmula matemática que até hoje é admirada por todos no mundo, imagina esse génio nos tempos modernos as maravilhas que ele faria com tantas tecnologias disponíveis.

Vanilson G. Silva e Douglas Ramon S. Nogueira

DONALD NO PAíS DA MATEMáTICA 1ª PARTE

DONALD NO PAíS DA MATEMáTICA

parte 1


parte 2


parte 3

Escola pitagorica

A escola de Pitágoras que era aristocrática, chegou a tentar também uma acção política e com isso excitou a malevolência dos profanos; por ocasião de uma revolta popular, a casa de Mílon foi incendiada e Pitágoras refugiou-se em Tarento, onde pouco depois foi assassinado durante outra revolta. Um grupo exaltado cercou a casa em que se achava Pitágoras e incendiou-a. O filósofo, sua esposa e alguns discípulos pereceram nesse incêndio (Cf. BELL, G.,30).
Pitágoras, a quem a geometria deve este caracter rigoroso de dedução que a distingue ainda hoje, conhecia e ensinava ao que parece tudo o que, em substância, encerram os dois primeiros livros dos Elementos de Euclides. Acreditava que a ciência dos números encerrava o fundamento da teoria do Universo e chegava a atribuir propriedades sobrenaturais aos números e figuras geométricas.
Os pitagóricos dividiam os assuntos matemáticos em quatro secções: os números absolutos ou a Aritmética; os números aplicados ou a Música; as grandezas no estado de repouso ou a geometria; as grandezas em movimento ou a Astronomia. Esse quadrivium foi durante muito tempo considerado como constituindo um curso mínimo para uma instrução liberal.

A escola de Pitágoras que era aristocrática, chegou a tentar também uma acção política e com isso excitou a malevolência dos profanos; por ocasião de uma ...
A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.
Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.

www.prof2000.pt/users/hjco/.../pg000004.htm
Quem foi Pitágoras?

Pitágoras, um dos maiores filósofos da Europa antiga, era filho de um gravador, Mnesarco. Nasceu cerca de 580 anos a.c., em Samos, uma ilha do mar Egeu, ou, segundo alguns, em Sidon, na Fenícia. Muito pouco se sabe sobre a sua juventude, a não ser que conquistou prémios nos Jogos Olímpicos.

Chegando à idade adulta e não se sentindo satisfeito com os conhecimentos adquiridos em sua terra, deixou a ilha onde vivia e passou muitos anos a viajar, visitando a maioria dos grandes centros da sabedoria. A história conta a sua peregrinação em busca de conhecimentos, que se estenderam ao Egipto, Indostão, Pérsia, Creta e Palestina, e como adquiriu em cada país novas informações, conseguiu familiarizar-se com a Sabedoria Esotérica, assim como os conhecimentos exotéricos neles disponíveis.
Voltou, com a mente repleta de conhecimentos e a capacidade de julgamento amadurecida, à sua terra, onde tencionava abrir uma escola para divulgar os seus conhecimentos, o que, porém, se mostrou impraticável, devido à oposição do turbulento tirano Policrates, que governava a ilha. Em vista do fracasso de uma tentativa migrou para Crotona, importante cidade da Magna Grécia, que era uma colónia fundada pelos dórios na costa meridional da Itália.

Foi ali que o famoso filósofo fundou a Escola ou Sociedade de Estudiosos, que se tornou conhecida em todo o mundo civilizado como o centro de erudição na Europa; foi ali que, secretamente, Pitágoras ensinou a sabedoria oculta que havia coligido dos ginosofistas e brâmanes da Índia, dos hierofantes do Egipto, do Oráculo de Delfos, da Caverna de Ida e da Cabala dos rabinos hebreus e magos caldeus.
Durante cerca de quarenta anos ele leccionou para os seus discípulos e exibiu os seus maravilhosos poderes; mas foi posto um fim à sua instituição, e ele próprio foi forçado a fugir da cidade, devido a uma conspiração e rebelião surgidas em decorrência de uma disputa entre o povo de Crotona e os habitantes de Síbaris; ele conseguiu chegar em Metaponto, onde, segundo a tradição morreu mais ou menos em 500 a.c..
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A Escola de Pitágoras
A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, guardando perfeito silêncio; os membros tinham tudo em comum e abstinham-se de alimentos de origem animal; acreditavam na doutrina da metempsicose, e tinham uma fé ardente e absoluta no seu mestre e fundador da Escola.
O elemento da fé entrava a tal ponto na sua aprendizagem, que "autos efa" - ele disse - constituía uma destacada feição da Escola; por isso, a sua afirmação "Um amigo meu é o meu outro eu" tornou-se um provérbio naquele tempo. O ensino era em grande parte secreto, sendo atribuídos a cada classe e grau de instrução certos estudos e ensinamentos; somente o mérito e a capacidade permitiam a passagem para uma classe superior e para o conhecimento de mistérios mais recônditos.
A ninguém era permitido registar por escrito qualquer princípio ou doutrina secreta, e, pelo que se sabe, nenhum discípulo jamais violou a regra até depois da morte de Pitágoras e da dispersão da Escola. Depende-se, assim, inteiramente, dos fragmentos de informações fornecidas pelos seus sucessores, e pelos seus críticos ou críticos dos seus sucessores.
Uma considerável incerteza é, portanto, inseparável de qualquer consideração das doutrinas reais do próprio Pitágoras, mas pisa-se um terreno mais firme quando se investigam as opiniões dos seus seguidores.
Sabe-se que as suas instruções aos seguidores eram formuladas em duas grandes divisões: a ciência dos números e a teoria da grandeza. A primeira dessas divisões incluía dois ramos: a aritmética e a harmonia musical; a segunda era subdividida também em dois ramos, conforme se tratava da grandeza em repouso - a geometria, ou da grandeza em movimento - a astronomia. As mais notáveis peculiaridades das suas doutrinas estavam relacionadas com as concepções matemáticas, as ideias numéricas e simbolizações sobre as quais se apoiava a sua filosofia.
Os princípios que governam os Números eram, supunha-se os princípios de todas as Existências Reais; e, como os Números são os componentes primários das Grandezas Matemáticas e, ao mesmo tempo, apresentaram muitas analogias com várias realidades, deduzia-se que os elementos dos Números eram os elementos das Realidades.
Acredita-se que os europeus devem ao próprio Pitágoras os primeiros ensinamentos sobre as propriedades dos Números, dos princípios da música e da física; há provas, porém de que ele visitou a Ásia Central, e ali adquiriu as ideias matemáticas que formam a base da sua doutrina. A maneira de pensar introduzida por Pitágoras e seguida pelo seu sucessor Jamblico e outros, tornou-se conhecida mais tarde pelos títulos de Escola Italiana ou Escola Dórica.
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História e lenda do Teorema de Pitágoras


Os geómetras gregos elevaram a um altíssimo grau de perfeição, técnica e lógica, o estudo das proporções entre grandezas, em particular o confronto entre figuras semelhantes. Eles basearam-se em tal estudo o cálculo não só de comprimentos incógnitos, mas também das áreas de muitas figuras planas limitadas por rectas, ou de volumes de sólidos limitados por planos.
Para confrontar as áreas das duas figuras planas semelhantes ( isto é, da mesma forma) é preciso confrontar não os lados correspondentes, mas os quadrados dos lados correspondentes. No entanto, alguns matemáticos estão de acordo com os estudiosos que pensam que os gregos fizeram o cálculo das áreas, num primeiro momento, por uma via mais simples e natural do que aquela que se baseia no confronto de figuras semelhantes e, em geral, sobre as proporções.
Um exemplo famoso, é o de Pitágoras e do seu teorema:« Num triângulo rectângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos. A lenda diz que Pitágoras compreendeu tão bem a importância da sua demonstração, que ordenou uma hecatombe, isto é, o sacrifício de cem bois aos deuses, em sinal de agradecimento e de alegria.
Naturalmente, sobre a descoberta de Pitágoras não temos jornais, nem livros, nem revistas da época, porque naquela época não havia nem jornais, nem livros, nem revistas. Temos só lendas, ou melhor, histórias de escritores que viveram séculos e séculos depois. Todavia, muitas razões nos induzem a acreditar na «história de Pitágoras». Talvez não se tenha chamado Pitágoras, talvez não tenha morto cem bois, mas um só, ou talvez não tenha sacrificado nem sequer um cordeirinho: tudo isto pode ser só lenda.
Mas que um estudioso da Grande Grécia ( com esta expressão incluíam-se a Itália Meridional e a Sicília), que viveu seiscentos anos a.c., tenha mostrado com um raciocínio geral a relação, a que chamamos Teorema de Pitágoras, entre os quadrados dos catetos e o da hipotenusa, para cada possível triângulo rectângulo, acreditamos que seja verdade.
Sabemos, para além disso, que no tempo de Pitágoras, nas ilhas gregas e na Grande Grécia, a geometria de recolha de regras práticas e de observações separadas, como aquela que recordamos agora, se transforma em ciência racional, isto é em raciocínios gerais sobre as figuras em geral. Portanto Pitágoras - hecatombe ou não hecatombe - demonstrou verdadeiramente, cerca de seiscentos anos a.c., que «a soma dos quadrados dos dois catetos, num triângulo rectângulo, é sempre igual, ou melhor, equivalente, ao quadrado da hipotenusa».


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1. A Escola de Pitágoras tinha várias características peculiares. Cada membro era obrigado a passar um período de cinco anos de contemplação, ...

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A vida de Pitágoras

Pitágoras
• A vida
• Pitágoras e a música
• Demonstração do Teorema de Pitágoras
• Links Pitagóricos

• Ditos Pitagóricos
A Vida:
Segundo a tradição, a pitonisa do oráculo de Delfos avisou aos pais de Pitágoras - o rico joalheiro Mnésarcnos e sua mulher Parthénis - que o filho esperado por Parthénis seria um homem de extrema beleza, inteligência e bondade, e iria contribuir de forma única para o benefício de todos os homens.
Quando a criança nasceu na ilha de Samos, na Grécia, numa data que se situa entre 570 e 590 a.C., seus progenitores o chamaram de Pitágoras, em homenagem à pitonisa que havia previsto para ele uma vida incomum. Dentre as lendas que cercam a vida de Pitágoras, algumas asseguram que ele na verdade não era um homem comum, mas sim um deus que tomara a forma de ser humano para melhor guiar a humanidaensinar a filosofia, ciência e a arte.
Nessa época, na ilha de Samos haviam, no aspecto religioso, duas correntes opostas: de um lado, os ritos dionisíacos, degenerados pela perda do seu sentido sagrado e, do outro lado, os ritos órficos, caracterizados por uma ascese rigorosa. Pitágoras seguiu estes últimos, que influenciaram a sua conduta por toda vida.
Mal acabado de sair da adolescência, Pitágoras acreditou que todos os conhecimentos que os gregos possuíam nada mais eram do que fragmentos da grande sabedoria que se encontrava nos templos egípcios e na Mesopotâmia. A fim de saber mais acerca dos mistérios da Vida e do Universo, era necessário que se deslocasse para o Oriente, aos lugares em que esses conhecimentos ainda permaneciam vivos. Assim, escolhendo Esparta como ponto de partida, o filósofo de Samos inicia um grande périplo através das maiores cidades e templos do mundo antigo que se prolongou por 40 anos, antes de voltar de novo à sua terra natal.
Esta viagem levou-o a encontrar-se com as maiores personalidades do seu tempo. Em Mileto, encontrou Tales e Anaximandro. Porém, foi no Egito, onde permaneceu cerca de 25 anos, que Pitágoras extraiu os conhecimentos que fundamentariam seu ensinamento futuro. Em Saís, encontrou o faraó Amasis que, reconhecendo as suas enormes capacidades, permitiu a sua admissão nos templos iniciáticos do Egito. Existem ainda indícios de que teria sido discípulo de Zoroastro, e é certo que estudou com os maiores mestres daquela época.
Uma afirmativa aceita pelos historiadores é que Pitágoras foi o primeiro homem a se intitular um filósofo, ou seja, amigo da sabedoria. Antes dele, os pensadores chamavam a si mesmos sages, significando algo como aqueles que sabem. Pitágoras, bem mais modesto, pretendia ser um homem que apenas procurava descobrir.
Quarenta anos após tê-la deixado, Pitágoras retornou a Samos, sua ilha natal. A esperança de aí fundar uma escola iniciática fracassou em virtude da recepção hostil do tirano Policrato. Partiu então para Crotona, cidade helênica da Itália meridional, onde fundou a sua escola iniciática, conhecida pelo nome de "Fraternidade Pitagórica". Ali reuniu um grupo de discípulos, a quem iniciou nos conhecimentos de matemática, música e astronomia, consideradas como a base de todas as artes e ciências.
Para entrar na "Fraternidade Pitagórica", o candidato era submetido a rudes provas, tanto físicas como de ordem psicológica. Se essas provas eram ultrapassadas, então o neófito era aceito como "acusmático", o que significa que deveria fazer o voto de silêncio durante os cinco primeiros anos. Os ensinamentos nunca eram escritos, mas transmitidos de "boca a ouvido" àqueles que estavam prontos a assimilá-los.
Pitágoras, na sua linguagem dos números, designava Deus pelo número 1 e a Matéria pelo 2; exprimia o Universo pelo número 12 resultante da multiplicação de 3 por 4; quer dizer, Pitágoras concebia o universo composto por três mundos particulares que, encaixando-se uns nos outros através dos quatro princípios ou elementos da Natureza, desenvolviam-se em 12 esferas concêntricas. Ao Ser inefável que inundava estas 12 esferas sem ser captado por nenhuma delas, o filósofo de Samos chamava-lhe Deus. Pitágoras conhecera e aprendera no Egito a aplicação do número 12 ao Universo; também era assim para os Caldeus e outros povos. A instituição do Zodíaco com seus 12 signos é a demonstração cabal deste conhecimento.
Pitágoras aprendera no Egito que os astros são corpos vivos que se movimentam no espaço, obedecendo a uma lei de harmonia universal, à qual estão inexoravelmente sujeitos no tempo, como todas as coisas manifestadas. Nas suas formas esféricas, o mestre de Samos via a figura geométrica mais perfeita.
O filósofo considerava o Homem um Universo em escala reduzida e, no Universo, ele via um grande Homem. Ele chamou-lhes respectivamente Microcosmos e Macrocosmos. Assim, o Homem como uma célula contida no Todo, seria um reflexo do ternário universal constituído de Corpo, Alma e Espírito.
Como costuma acontecer com os grandes libertários, Pitágoras logo arranjou inimigos políticos e pessoais. Entre um dos muitos que tentaram entrar para sua escola e não foram admitidos, estava um homem que passou então a perseguí-lo. Através de falsos testemunhos, colocou o povo da cidade contra Pitágoras, até que um dia a escola foi destituída e o mestre assassinado. Não existe, no entanto, certeza sobre essa morte: alguns dizem que ele conseguiu fugir para Metaponto, onde viveu o resto da sua vida.
Pitágoras não deixou nenhum registro escrito, e sendo sua sociedade secreta, certamente existe muito sobre ele que foi perdido após a morte de seus discípulos, e a dissolução dos pitagóricos. Difícil hoje dizer o que ao certo foi obra de pitágoras e o que foi obra de seus discípulos, uma vez que a figura de pitágoras e a figura da filosofia pitagórica são indivisíveis hoje, de modo a tornar árduo o trabalho de separar o homem de seus ensinamentos, para aqueles que a isto se dedicam. O teorema mais famoso de Pitágoras, porém, relacionando os lados de um triângulo equilátero, é indiscutívelmente uma descoberta do filósofo, bem como grandes avanços geométricos, musicais e filosóficos mais tarde aprofundados por seus sucessores: Sócrates, Platão, Tales e outros.

Pitágoras e a Música:
Pitágoras e a Música:
Nenhum músico teve tanta importância no período clássico quanto Pitágoras. Conforme conta a lenda, Pitágoras foi guiado pelos deuses na descoberta das razões matemáticas por trás dos sons depois de observar o comprimento dos martelos dos ferreiros. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2:1, uma quinta em 3:2, uma quarta em 4:3, e um tom em 9:8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de fios de corda em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar matematicamente a entonação de todo um sistema musical. Os pitagóricos viam estas razões como governando todo o Cosmos assim como o som, e Platão descreve em sua obra, Timeu, a alma do mundo como estando estruturada de acordo com estas mesmas razões. Para os pitagóricos, assim como para platão, a música se tornou uma natural extensão da matemática, bem como uma arte. A matemática e as descobertas musicais de Pitágoras foram, desta forma, uma crucial influência no desenvolvimento da música através da idade média na Europa.

Demonstração do Teorema de Pitágoras:
Talvez a obra mais famosa de Pitágoras seja seu teorema, relacionando os lados de um triângulo equilátero. A seguir, a demonstração de como este filósofo e matemático chegou a tal relação usando apenas a geometria:

Em um triângulo retângulo qualquer, trace três quadrados adjacentes a cada um dos lados, tendo cada um deles o comprimento de um lado.
O quadrado referente ao maior dos dois catetos, divida ao meio, fazendo passar uma linha paralela à hipotenusa. Em seguida, divida-o novamente ao meio fazendo passar por seu centro uma linha perpendicular à hipotenusa. O resultado será um quadrado dividido em quatro trapézios irregulares.
Estes trapézios irregulares possuem dois lados que, unidos, tem o comprimento da hipotenusa. Portanto, é possível rearranjá-los de modo a se encaixarem no quadrado ao lado da hipotenusa.
Este quadrado, assim formado, cujos lados tem o comprimento da hipotenusa, resultará na formação de um quadrado menor em seu inteiror, cujo lado será igual ao lado do quadrado criado no menor dos catetos (b = a - c).
Portanto, o quadrado da hipotenusa tem área (a hipotenusa ao quadrado) igual à soma do quadrado do cateto menor mais o quadrado do cateto maior (as áreas dos 4 trapézios formados se igualam à área do quadrado do cateto maior).
Ditos Pitagóricos:
"Tudo são números"
"Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste en cometê-las."
"A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus."
"A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se. "
"A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus."

Links Pitagóricos:
The School of Pythagoras - Site em inglês com uma boa seleção de informações sobre o filósofo e suas áreas de atuação.
Pythagoras' Theorem by Seth Yoshioka-Maxwell - Uma demonstração do teorema de pitágoras.
Pentagram - A história do pentagrama, considerado por Pitágoras o emblema da perfeição.
Pythagoras - Mais sobre o filósofo
Pythagoream Theorem - Um site com extensivas informações sobre Pitágoras, incluindo sua numerologia


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Teorema de Pitágoras

Na Grécia, por volta do século VI a.C., Pitágoras (580-500 a.C.) fundou uma escola mística secreta chamada Escola Pitagórica.
Os membros desta sociedade, os pitagóricos, ti- nham uma filosofia de vida em que os números apresentavam importância fundamental: a harmonia do universo, o movimento dos planetas, a vida ani- mal e vegetal, o som, a luz, tudo isso só podia ser explicado através dos números.

Porém, a descoberta do famoso teorema “em todo e qualquer triângulo retângulo o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos qua- drados das medidas dos catetos”, que estuda- remos neste livro, levou os pitagóricos a uma nova descoberta que iria abalar os seus princípios a res- peito dos números.
Eles conheciam os números inteiros e as frações; estas não eram consideradas números mas repre- sentavam comparações entre grandezas de mesma espécie.
Observaram que, num quadrado, a razão entre a medida "D" da diagonal e a medida "L" do lado não poderia ser escrita como uma fração.
Para eles, essa situação contrariava a idéia de que tudo poderia ser expresso por uma relação de nú- meros. Assim, juraram nunca revelar a estranhos a existência desse fato inexprimível, o qual eles cha- maram de alogon.
Menos de um século depois, o segredo dos pita- góricos tornou-se conhecido de todos os pensa- dores, e o advento dos números irracionais marca o declínio da Escola Pitagórica como sistema de fi- losofia natural.

De acordo com os dados históricos, a Geometria dos antigos egípcios estava basea- da na pirâmide de base quadrada.
Como os egípcios faziam para obter ângulos retos?
Usando uma corda com 12 nós, os egípcios construíam um triângulo retângulo particular para obter “cantos”em ângulos retos.
Esse triângulo particular tem lados medindo 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades de comprimento. Nesse triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto.

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